Ich habe Tunesia, weil die letzten zwei Male ja echt, ich glaube vor zwei Wochen waren

zu zweit.

Letzte Woche war erst nur einer da und ist der zweite gekommen und die haben in netten

Worten gesagt, wir kommen quasi aus Mitleid.

Die haben schon anders gesagt und du bist ja noch dann, als ich gesagt habe, ich mache

es heute nicht.

Aber sie这样.

Das 10.

Blatt und ich glaube, das 11. Blatt habe ich aussehen auch 10. Blatt genannt. Da habe ich euch vergessen, ich wollte euch noch einen Hinweis fürs 11. Blatt reinmachen, schicke ich euch später rum.

Also eigentlich ist es ein ziviler Hinweis, weil ihr habt dann später eine Aufgabe, wo ich euch noch darauf hinweisen will, dass ihr die zwei Präsenzaufgaben zur Hölderungleichung verwenden könnt.

Aber ich glaube, dass es auch ohne Hinweis offensichtlich ist, dass es geht. Aber ich schreibe es nochmal rein. Okay.

Es war also Konsens, dass ich bei der A34 nur die C mache, weil die anderen zwei...

Also ich sage es euch, bei der B sieht man das sofort in der Lösung. Bei der B ist es ein Widerspruchsbeweis, weil ich meine, ihr seht ja,

im Prinzip kann man bei Lipschitz-Stätigkeit immer so vorgehen, eigentlich nicht nur salopp, aber ihr habt es nicht gezeigt,

aber man schaut sich halt die erste Ableitung an bei der Lipschitz-Stätigkeit und wenn die beschränkt ist,

dann finde ich auf jeden Fall ein L. Und in dem Fall ist es halt so, dass die Ableitung vom Wurzel-X ja 1 durch 2 Wurzel-X ist,

und dann ist klar, dass wir an der Stelle 0 ein Problem haben. Und dann machst du halt bei der B einen Widerspruchsbeweis

und sagst angenommen, wir sind in der Stelle 0 Lipschitz-Stätig, machen dann den Ansatz der Lipschitz-Stätigkeit,

sagen dann halt Wurzel-H minus Wurzel-0 und so weiter. Und dann sehen wir, dann bleibt ja dann 1 durch Wurzel-H übrig

und das geht halt gegenunendlich dann. Und deswegen findest du keine obere Schranke, weil es halt einfach unbeschränkt ist.

Aber das ist superoffensichtlich aus der Lösung. Aber gut, ihr wolltet die C zum Mittelwertsatz absolut berechtigt,

weil im Mittelwertsatz habt ihr im ersten Semester ja nur noch quasi, ihr habt ihn eingeführt, aber ihr hattet keine Übungsaufgaben mehr dazu.

Und beim Banachschen Fixpunktsatz brauchst du den ja auch, um die Abschätzung zu bilden.

Also sind diese Aufgaben denke ich eine gute Übung bezüglich des Mittelwertsatzes. Also bei der A34c.

Wir sollen also zeigen, dass die Funktion, die von x auf E0-6 abbildet, Lipschitz stetig auf 0 unendlich ist.

Und dann sollen wir noch zeigen, auf welchen Intervallen ist die Funktion sogar eine Kontraktion.

Kontraktion bedeutet, dass wir eine Lipschitz-Konstante echt kleiner 1 finden.

So, jetzt machen wir also den Ansatz nach dem Mittelwertsatz. Also nach dem Mittelwertsatz gilt,

nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gilt das E hoch minus x, also ich nehme ja jetzt einen Intervall mit den Grenzen x und y

und sage dann E hoch minus x minus E hoch minus y, den Betragsschicht usw. usf. alles positiv, bräuchte ich auch generell nicht.

Ist gleich minus E hoch minus Xi mal x minus y. Das darf ich ja nach dem Mittelwertsatz sagen, wobei ich jetzt noch sagen muss, was ist das Xi.

Aber das ist ja auch nach dem Mittelwertsatz klar gegeben, also für ein Xi, das eben in dieser Range zwischen x und y liegt.

Und das kann ich eben hier in Form einer komplexen Kombination, das ist in dem Fall sogar eben hier eben in Form von Lambda x, 1 minus Lambda y,

wobei mein Lambda eben ein Wert von 0 bis 1 ist. Also, jetzt schreibe ich es dann doch mit Beträgen hin, kann ich ja sagen,

dass daraus auf jeden Fall auch folgt das E hoch minus x minus E hoch minus y. Das selbe ist wie E hoch, genau jetzt lasse ich das Minus unten weg,

und E hoch minus Xi x minus y. Und jetzt ist es so, dass halt das E hoch minus Xi offensichtlich dann meine Lipschitz-Konstante ist.

Und jetzt war ja noch gefragt nach der Konfraktion, und wir wissen E hoch 0 ist 1, aber für alle anderen Werte, die ich einnehme,

weil Xi nimmt ja Werte zwischen 0 und endlich ein, also setze ich oben insgesamt gesehen eine negative Zahl ein,

also kriege ich immer etwas raus, was echt kleiner 1 ist. Also Konfraktion für Xi aus 0 bis und endlich, aber halt ohne die 0.

Das war aber nicht die Frage, die Frage war nach den Intervallen und nicht nach den Werten von meinem Xi, also muss ich noch schreiben.

Also ich kann halt eben dann immer nur Intervalle anschauen, wo ich die 0 ausschließe, und ich nehme dann halt jetzt,

es ist wurscht ob ich jetzt Epsilon oder Delta nehme, ich schließe quasi eine minimalste Umgebung um die 0 aus.

Also, wie schreibe ich es hin?

Ich lasse das mal weg. Für gilt, dass eben E hoch Minus Xi kleiner 1 ist,

da das folgt, dass die gegebene Funktion E hoch Minus X,

ist auf diesen Intervallen eine Kontraktion, wobei Delta halt eben positiv ist,

wobei Delta größer 0.

Für den Mittelwertsatz muss man die Ableitung kennen.

Das ist wirklich die Definition des Mittelwertsatzes.

Wie gesagt, wir wenden oben den Mittelwertsatz an, schreiben das unten in Form, dass wir quasi die Definition der Lipschitz-Stätigkeit haben,